The legomenon blog

July 13, 2008

Why three space dimensions are necessary for sight

Filed under: Philosophy — legomenon @ 6:26 pm

John Wheeler is reported to have said:

Time is what prevents everything from happening at once.
Space is what prevents everything from happening to me.

I won’t address the dimensionality of time here, I’ll save that for a later post maybe. Let me just briefly remark that I think the observation that time is 1-dimensional is a consequence of the fact that only a 1-dimensional time makes it possible for different observers to share an objective reality where causality is possible. So let’s stick with one single time dimension, and consider space and how it’s possible to see things at a distance.

In order to see things clearly at a distance, it must be possible to transport light signals across space with little or no distortion. Since light is a type of electromagnetic wave, the propagation of waves must allow such transporting of signals. The wave equation in n-dimensional space looks like this:

\displaystyle \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_1^{2}} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_2^{2}} + \dotsb + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_n^{2}} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^2}

where c is the propagation speed of the waves, and \psi represents the stuff that is “waving”, whatever it is. More precisely, \psi is a function of space and time coordinates, and the value of that function can be any mathematical object for which partial derivatives are defined: for example a simple scalar, a complex number or quaternion, a vector, a matrix, and a lot of other things.

Now imagine a wave that propagates from a point-like source, symmetrically in all directions. The symmetry allows us to write the wave equation in terms of only r and t, where r is the distance from the source. This spherically symmetric wave equation looks like this:

\displaystyle \frac{\partial^{2}\psi}{\partial r^{2}} + \left(\frac{n-1}{r}\right)\frac{\partial\psi}{\partial r} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^2}

In order to transport an arbitrary signal, the wave function must hold for all solutions of the form

\displaystyle \psi = f(r-ct) \gamma(r)

where f is an arbitrary function that represents the shape of the source signal, and \gamma is some fixed function that is independent of f. The factor \gamma(r) attenuates the signal as it spreads outward from the source. Since the wave equation must hold for any f, it must in particular hold for the case f \equiv 1, which gives the condition:

\displaystyle \frac{\partial^{2}\gamma}{\partial r^{2}} + \left(\frac{n-1}{r}\right)\frac{\partial\gamma}{\partial r} = 0

which, ignoring irrelevant constants and the pathological case n=1, has the solution

\displaystyle \gamma(r) = \frac{1}{r^{n-2}}

which gives us \displaystyle \psi = \frac{f(r-ct)}{r^{n-2}} for the general case, since \gamma is independent of f.

Inserting this into the spherically symmetric wave equation produces, after simplifications,

\displaystyle \frac{f''}{r^{n-2}} - 2\left(\frac{n-2}{r^{n-1}}\right)f' + \left(\frac{n-1}{r^{n-1}}\right)f' = \frac{f''}{r^{n-2}}

where f' and f'' are the first and second derivates of the function f with respect to its parameter. After further simplification the final result is simply n=3. Voila! So faithful propagation of arbitrary signals via spherically symmetric waves is only possible in 3 space dimensions.

Notes:

• I only bothered with so-called “retarded” waves. Since the wave equation only uses the second derivative with respect to t, any linear combination with a solution that uses -c instead of c is also a solution. Solutions of the form f(r+ct) are called “advanced” waves and are the time-inverse of the normal retarded solutions.

• Spherical symmetry is an idealization for electromagnetic waves, since the electric and magnetic fields (or the Faraday tensor if you prefer) have directions in space which are transverse to the direction of wave propagation. See The Hairy Ball Theorem. This doesn’t affect our conclusion, however.

• There are some speculative exotic theories (string theory etc) that postulate several extra “compact” space dimensions in addition to the familiar ones that we already know about. This does not affect our conclusion either, since such hypothetical dimensions do not contribute to any degrees of freedom in a macroscopical wave equation.

July 11, 2008

Anton Nilson – a swedish terrorist

Filed under: Politics — legomenon @ 5:12 pm

Today, or rather tonight, marks the 100-year anniversary of one of the most famous terrorist attacks in Sweden, the bombing of the ship Amalthea, which resulted in the murder of Walter Close, and the maiming and wounding of several other civilians. The person responsible for this horrible act of violence was Anton Nilson, but the blame also falls on his fellow collaborators Algot Rosberg and Alfred Stern. All three were communists, and this case is of course just one more example among many that shows how communism always perverts the last vestiges of morality within the ranks of its believers.

The perpetrator Anton Nilson emigrated to the Soviet Union after he was released from prison, and spent a decade participating in Lenin’s Red Terror against liberals, social democrats, anarchists, and anyone else who didn’t submit to Lenin’s totalitarian rule.

All this happened a 100 years ago, but some people still refuse to learn the lesson that communism is pure evil. Two influential swedish social democrats Olof Palme and Ingvar Carlsson, both who served as prime ministers of Sweden, actually celebrated the terrorist Anton Nilson on various occasions. Maybe they didn’t know who Anton Nilson was, and the crimes he committed. Or maybe they did? Either way it’s very very scary to know that such blood-thirsty people have actually led governments in my country.

July 2, 2008

FRA-lagen

Filed under: Svensk Politik — legomenon @ 8:23 pm

Nu har det gått två veckor sedan “Lex Orwell” klubbades igenom i den svenska riksdagen. Trots en massiv kritik från många svenska medborgare som är väl införstådda med hur Internet fungerar, vad syftet med den svenska grundlagen är, och som kan känna igen en lobbyistisk “Spin Doctor” på 1000 kilometers avstånd, så är argumenten hos FRA-lagens förespråkare fortfarande begränsade till: (1) Buähäähäää!!!! Mina väljare förstår mig inte! (2) Yttre hot… i framtiden kanske… men tänk på våra svenska barnsoldater som krigar i Afghanistan! samt (3) Andra världskriget minsann!.

Sedan har det dykt upp ett antal återkommande begrepp i debatten som jag tror det är nyttigt att skärskåda:

  • “Teknikneutral” betyder att man istället för att bara spana på radiosignaler som avsändaren har sänt ut för spridning överallt i etern, vill kunna spana på alla meddelanden som skickas överhuvudtaget, oavsett teknik. Det tycker jag är helt OK så länge samma grundförutsättningar gäller som tidigare: FRA bör få spana på allt som sänds via kabel och som sprids överallt, d.v.s. all annonserad multicast (RFC1112 m.fl.), allt som skrivs på publika websajter, och även allt som är allmänt åtkomligt via FTP och Bittorrent naturligtvis. För detta krävs ingen massiv avlyssningsapparatur. Det räcker med en vanlig internetanslutning. Med FRA:s budget så skulle dom kunna köpa sig en miljon vanliga internetanslutningar. Om jag var FRA-chef så är det precis vad jag skulle göra.
  • “Kontrollstation” betyder i praktiken att regeringen och FRA själva ska utvärdera i efterhand huruvida regeringen och FRA har missbrukat sina befogenheter. Hallå?
  • “Integritet” betyder på FRA-lobbyisternas nyspråk att FRA först öppnar ditt brev, tar en kopia på det, granskar kopian maskinellt, sparar information om innehåll och metadata, och till sist “förstör” den sparade informationen efter att ha läst och tolkat den och konstaterat att den för närvarande inte är intressant för FRA:s kunder.

Jag kanske ska påpeka att jag inte är principiellt mot avlyssning av kabeltrafik. Det finns situationer där detta är befogat och önskvärt. Men det är en stor skillnad mot FRA-lagens massavlyssning av alla. Och det kom som en kalldusch för mig att hela den borgerliga alliansen (med undantag för riksdagsledamot Camilla Lindberg) accepterade massavlyssningen. Jag har röstat anti-socialistiskt i alla val jag har deltagit i, men från och med FRA-lagen kan jag inte längre rösta på något av allianspartierna. Att rösta för ett visst parti innebär att man som individ legitimerar dess politik, och därför är det helt uteslutet för mig att någonsin mer rösta för något av de partier som klubbade igenom denna lag.

Create a free website or blog at WordPress.com.